$\inti \delta(t) \e^{-\j\omega t} \dt = \inti \delta(t) \dt = 1$.

右式可以由对称性质得到, 也可以由双边指数函数经费曼积分法求得.

$\inti \delta^{(n)}(t) \e^{-\j\omega t} \dt = (-1)^n (-\j\omega)^n = (\j\omega)^n$.

右式可以由对称性质得到, 也可以由微分性质和 $1 \rla 2\pi\delta(\omega)$ 得到.

由微分性质 $t^n f(t) \rla \j^n F^{(n)}(\omega)$ 即得.

右式可以由对称性质得到.

另外, 由 $f^{(n)}(t) \rla (\j\omega)^n F(\omega)$ 和 $t^{n-k} \rla \dfrac{2\pi \j^n (-1)^k}{(n)_{(k)}} \omega^k \delta^{(n)}(\omega)$, 还可推出直流信号傅里叶变换的多种表达式.

实际上,

思路一: $\delta_{T_0}(t) = \nsuminf \delta(t - n T_0) \rla \nsuminf \e^{-\j\omega n T_0}$.

思路二: 傅里叶级数展开 $\delta_{T_0}(t) = \nsuminf \dfrac{\e^{-\j n \omega_0 t}}{T_0}$, 于是 $\delta_{T_0}(t) \rla \omega_0 \nsuminf \delta(\omega - n \omega_0)$.